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Time-Energy Uncertainty Principle

三月 5, 2008 at 10:59 上午 · Filed under Default, Physics

\displaystyle\Delta E\Delta t\geq \frac{h}{2}

这个式子解释起来破费周折，因为t不是一个物理量（至少在Quantum Mechanics的框架内），不能表示为一个Hermitian算符（Pauli定理），只是一个参数。以前对这个问题没有深究，最近读Nature上一篇关于量子计算物理极限的文章，才又想到这个老问题。

文章的想法很有意思。所有量子计算机，都必须用两个可以区分的态|0\rangle和|1\rangle来表示二进制的0和1，而Bool运算，例如NOT，必定需要在两个态之间进行跃迁，而这个跃迁是需要时间的。事实上前面的Time-Energy Uncertainty Principle就给出了一个两个态间跃迁的最小时间，反过来这也是这一关系的一个物理解释。

原文中用了一种比较直观的说明：考虑一个两能级系统，两个能量本征态为|E_1\rangle和|E_2\rangle，E_1<E_2。令|0\rangle=|E_1\rangle+|E_2\rangle，|1\rangle=|E_1\rangle-|E_2\rangle，\Delta E=E_2-E_1，则|0\rangle随时间的演化为

|0(t)\rangle=e^{-iE_1t}|E_1\rangle+e^{-iE_2t}|E_2\rangle。

其处于|1\rangle态上的概率就是

\displaystyle|\langle 1|0(t)\rangle|^2=\frac{1-\cos \Delta E t}{2}

所以一次跃迁需要的时间为\frac{\pi \hbar}{\Delta E}。这个结论还可以推广到任意两个正交的量子态（只要不是能量本征态）之间。

还可以从另外一个角度看。假设|0\rangle和|1\rangle就是|E_1\rangle和|E_2\rangle。为了实现跃迁，必须有一个非对角的外场H_{12}项。

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